En la administración de Joomla a Extensiones->Gestor de plugins y edita el plugin de nombre Captcha – ReCaptcha. Activa el plugin y añade en él las claves pública y privada de recaptcha que puedes conseguir en www.google.com/recaptcha
Una vez hecho esto vete a Sitio->Configuración global. En la primera pestaña Sitio elige para el parámetro Captcha predeterminado la opción Captcha – ReCaptcha y guarda los cambios.
Comprueba si así te sale el recaptcha en el formulario de contacto.